La paradoja de Zenón

Aquiles y la tortuga

Según la leyenda, Aquiles, héroe de la Guerra de Troya, era invulnerable, debido a que su madre, para hacerle invencible lo llevó a la laguna Estigia, morada de la gorgona Medusa (una diosa monstruosa), y lo sumergió en sus aguas sujeto por el talón. Como su talón fue lo único que no se mojó, éste era su único punto débil... el Talón de Aquiles.

Famoso por sus grandes cualidades físicas, Aquiles fue elegido por Zenón de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) como protagonista de la famosa Paradoja o aporía, (un razonamiento aparentemente correcto cuya conclusión es evidentemente falsa). Hemos adaptado su enunciado para facilitar la solución:

Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m. en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una ventaja de 100 m. a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m., la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m., la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0'1 m. Y así indefinidamente.

Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Es evidente que esta paradoja, bajo una apariencia de razonamiento correcto, esconde algún fallo... todos sabemos que Aquiles debe alcanzar a la tortuga. Pero se tardó 24 siglos en desvelar por completo, gracias a la Teoría de Límites, cuál era el fallo: la suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.

Lo aclararemos estudiando como sucesiones las distancias recorridas, la ventaja de la tortuga y los tiempos empleados:

En consecuencia: Aquiles alcanza a la tortuga a los 111,111... m de carrera y emplea en ello 11,111... segundos (números decimales periódicos puros).

Otro ejemplo.- Si todavía te cuesta admitir que la suma de infinitos números puede ser un número finito, piensa en una hoja de papel (1). Le quitamos la mitad (1/2). A su vez, a la mitad restante le quitamos su mitad (1/4). Al trozo que queda (1/4), también le quitamos su mitad (1/8). Y así sucesivamente, de forma indefinida. Como siempre queda algo de papel, siempre se puede continuar cortando. 

Piensa ahora en la suma de los infinitos trozos de papel que vamos quitando:

1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , 1/32 ...

 ¿Cuál es su suma?  Evidentemente toda la hoja; es decir 1

 1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1

Ambos casos son ejemplos concretos de la Suma de todos los términos de una progresión geométrica con razón r , siendo | r | < 1.

Dada una progresión geométrica:         a, a·r  ,  a·r²  ,  a·r³  ,  a·r⁴  ...  a·rⁿ

La suma de los (n + 1) primeros términos: 

S = a +  a·r +  a·r² +  a·r³ +  a·r⁴ + ...+  a·rⁿ

Se expresa mediante la fórmula:

Cuando  | r | < 1 ,  la potencia  r ^{n+ 1} resulta ser un infinitésimo; es decir, para valores de n cada vez mayores, su límite es 0 .

lim  r ^{n+ 1}=0         cuando  n → ∞