Matemáticas en tu mundo

Resolución

de problemas

Clasificación de los problemas

“Algunos, no es que no vean la solución,

 es que no ven el problema”

 G.K. Chesterton (1876 – 1934)

De acuerdo con tres autores  (De Bono, Garrett y Polya), encontramos tres clasificaciones de los problemas: atendiendo a su exigencia, a su solución y al tipo de tarea.

* Según su EXIGENCIA, podemos catalogar los problemas en tres tipos (De Bono):

El primer tipo requiere para su solución más información, o bien técnicas más eficaces de manejo de la información. 

Ejemplo: Tienes que comprar 10 artículos en un supermercado. En la caja rápida (para 10 artículos o menos) hay seis personas esperando, en la caja 1 hay una persona, y en la caja 3 hay 3 personas esperando. Las demás cajas están cerradas. ¿En qué cola deberías ponerte? ¿Qué más información hace falta para contestar esta pregunta?

El problema citado no da toda la información necesaria para tomar una decisión. Hay que considerar el número de artículos que lleva cada persona y la velocidad de las cajeras.            

El segundo tipo no requiere información adicional, sino una reordenación de la información disponible, es decir, una reestructuración perspicaz. Una distinta ordenación de la información provoca una visión diferente de una situación. 

Ejemplo: Los problemas en los que se contrastan diversos testimonios enfrentados, que se resuelven organizándolos en tablas de verdad. 

El tercer tipo es menos definido. El problema consiste precisamente en la ausencia de problema. No se puede dar a la situación un enfoque determinado porque se ignora qué aspectos pueden mejorarse. La cuestión consiste en apercibirse de que hay un problema, reconocer la posibilidad de perfeccionamiento y definir esta posibilidad como un problema concreto. 

Ejemplo: Se informa a unos alumnos sobre qué es un cuadrado mágico y se les sugiere que trabajen sobre dicho concepto, sin indicarles tareas concretas.

* Según su SOLUCIÓN, se establecen tres tipos de problemas (Garrett) en algunos aspectos bastante coincidentes con los anteriores: 

Problemas cerrados que tienen bien sólo una respuesta o más de una, pero igualmente correctas. El resolvente sabe generalmente cuándo ha llegado a una respuesta y, como sabemos que hay una respuesta a la que llegar, entonces es posible solucionar estas situaciones. Ejemplo: ¿En cuántos ceros termina 1000! ?. 

Situaciones abiertas, que carecen de solución definida. Puede haber varias respuestas de las que ninguna de ellas sea correcta o equivocada en términos absolutos, sino simplemente la más adecuada para un conjunto dado de circunstancias. Ejemplo: el teselado del plano o el cubrimiento del espacio.           

Hay otro grupo de situaciones solamente comprensibles; son enigmáticas ya que no son ni solucionables ni resolubles. Estos son los "problemas verdaderos". Ellos requieren que el resolvente salga de los paradigmas existentes, los reaplique, los reinterprete o, en último término, que produzca un paradigma totalmente nuevo.

Ejemplo: lo fueron para la comunidad matemática las paradojas con enunciados autoalusivos (por ejemplo: "El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen  a sí mismos es un conjunto que no se contiene a sí mismo"). Fueron estudiadas por Bertrand Russell, dando lugar a la Lógica de Clases. 

La separación entre unos y otros tipos de problemas variará dentro de un individuo y entre individuos distintos, dependiendo de sus intereses y conocimientos previos. 

Generalmente son más difíciles de tratar las situaciones abiertas que los problemas cerrados, a pesar de la gran libertad que se ofrece. Parece que esta libertad introduce una incertidumbre que es la que produce una pérdida de confianza. 

Pero hay una gran diferencia entre darte cuenta tú mismo de un problema y que te ofrezcan una situación en que otra persona ha identificado el problema. Pensar en problemas no del todo precisos suele venir motivado por tu propio interés. Cuando está claro, por la naturaleza y por la forma de enunciar el problema, que el que lo formula ya sabe la respuesta, el razonamiento se convierte fácilmente en una forma de competición (Mason, Burton y Stacey). 

* Según la TAREA A REALIZAR: problemas por resolver y problemas por demostrar (Polya). 

El propósito de un "problema por resolver" es descubrir cierto objeto, la incógnita del problema. Los "problemas por resolver" pueden ser teóricos o prácticos, abstractos o concretos; son problemas serios o simples acertijos. Sus principales elementos son: la incógnita, los datos y la condición. 

Ejemplo: "Inscribir un cuadrado en un triángulo dado, tal que dos vértices del cuadrado deben hallarse sobre la base del triángulo y los otros dos vértices del cuadrado sobre cada uno de los otros dos lados del triángulo respectivamente". (Polya, Cómo plantear y resolver problemas)           

El propósito de un "problema por demostrar", también llamado teorema, consiste en mostrar de modo concluyente la exactitud o falsedad de una afirmación claramente enunciada. Sus elementos principales son la hipótesis y la conclusión del teorema que hay que demostrar o refutar.  

Ejemplo: "Dos ángulos están situados en dos planos diferentes, pero cada uno de los lados de uno es paralelo al lado correspondiente del otro, y en la misma dirección. Demostrar que los dos ángulos son iguales" (Polya). 

Los "problemas por resolver" tienen mayor importancia en las Matemáticas Elementales; los "problemas por demostrar" son más importantes en las Superiores.  

Problemas equivalentes

En unos y otros tipos de problemas, las herramientas heurísticas transforman el problema original en otro u otros. Un primer análisis consiste en describir qué relación hay entre el problema original y el transformado desde el punto de vista de su resolución. Si A es el problema original y B el problema transformado, puede suceder que la solución de A implique la de B y viceversa (es el caso de la transformación que efectúa el paso al contrarecíproco). Entonces los dos problemas son equivalentes.. Ejemplo:

            A. En todo triángulo equilátero, cada ángulo mide 60º

            B. En todo triángulo equiángulo, cada ángulo mide 60º           

Estos dos teoremas no son idénticos. Pero cada uno de ellos se deduce del otro. Por lo tanto, el problema que consiste en demostrar A es equivalente al problema que consiste en demostrar B. El paso del problema original al problema auxiliar se llama reducción reversible o reducción bilateral.           

Para resolver un problema es frecuente utilizar cadenas de problemas equivalentes, hasta llegar a un problema cuya solución sea conocida o inmediata y que sea equivalente al inicial. Ejemplo: los cambios de variable para resolver ecuaciones bicuadradas. 

Puede suceder también que la solución de A implique la de B, pero que la solución de B no implique la de A: eso sucede, por ejemplo, si B es el resultado de aplicar a A la herramienta heurística "consideración de un caso particular". Entonces A es un problema más ambicioso que B, o más extenso. 

De forma similar, si a A se le aplica la herramienta heurística "consideración de un caso general", la relación entre la solución de A y la de B es contraria. Entonces A es un problema menos ambicioso que B, o más restringido.  

Si pasamos de una condición propuesta a una nueva equivalente, la solución es la misma. Si pasamos de una condición propuesta a otra más restringida, perdemos posibles soluciones; y si pasamos a una condición más extensa, admitimos soluciones impropias, no adecuadas al problema propuesto. Si en una serie de reducciones sucesivas, pasamos de una condición a otra más restringida y luego a otra más extensa, corremos el riesgo de perder por completo el camino del problema original.