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Reducción al absurdo y demostración indirecta
Son dos métodos diferentes, pero relacionados: La reducción al absurdo demuestra la falsedad de una afirmación deduciendo de ella alguna contradicción. La demostración indirecta establece la verdad de una afirmación demostrando la falsedad de la afirmación contraria. Veamos dos ejemplos clásicos: Demostrar que hay infinitos números primos (resultado de Euclides). Supongamos que los números primos no son infinitos. Entonces, serían finitos: 2, 3, 5, 7,... P Siendo P el mayor de todos los números primos. Consideramos ahora el número H = (2·3·5·7· ...·P) + 1 H no es primo, pues es mayor que P. Entonces H debe tener algún divisor primo. Pero si dividimos H por cualquiera de los números primos, obtendremos resto 1, por la forma en que se ha definido H. hemos llegado a una contradicción. Luego la afirmación inicial es cierta. En el anterior ejemplo, hemos demostrado un teorema combinando los dos métodos: demostración indirecta y reducción al absurdo. En efecto, para demostrar el teorema hemos refutado su contrario. Y para refutar éste, de él hemos deducido una contradicción. También es célebre la demostración indirecta de Cantor para demostrar que el conjunto de los números reales no es numerable. Supone que todos los números reales pudieran ser dispuestos formando una sucesión: r1 = N1, a1a2a3a4a5 ... r2 = N2, b1b2b3b4b5 ... r3 = N3, c1c2c3c4c5 ... .................................. y, a partir de dicha sucesión, por un "proceso diagonal", construye un número r = 0, a b c ... donde a es una cifra distinta de a1, de 0 y de 9 (para evitar las ambigüedades del tipo 0,999... = 1,000); b es una cifra distinta de b2, de 0 y de 9, y así sucesivamente. Este número r difiere de r1 en la primera cifra decimal, difiere de r2 en la segunda cifra decimal, y así sucesivamente. Por lo tanto, no puede estar en la sucesión, lo cual es contradictorio con la hipótesis inicial. Luego R no es numerable. Estos métodos han encontrado la oposición de algunos filósofos y lógicos (Intuicionismo, Brouwer) que renuncian a las demostraciones por reducción al absurdo y sólo proponen rdemostraciones por construcción. Kolmogorov prescindió del Principio del Tercio Excluso (principio de no contradicción) construyendo una Lógica No Aristotélica, de modo semejante a la existencia de Geometrías No Euclídeas. En el terreno del aprendizaje, la objeción se formula así: "Atendiendo a una demostración de este tipo, debemos fijar constantemente nuestra atención sobre una hipótesis falsa que después debemos olvidar, y no sobre el teorema correcto que debemos retener". En una demostración constructiva se tiene un objeto tangible, mientras que en la reducción al absurdo sólo se tiene una contradicción. La atención a esta objeción nos lleva a reformular el problema para transformar la demostración indirecta en un razonamiento constructivo, pasando de un "problema por demostrar" a un "problema por resolver". Ejemplo: En el caso de la infinitud de los números primos, el nuevo problema sería "Dados los n números primos p1, p2, p3,... pn, encontrar un nuevo número primo pn+1 diferente de todos los números primos dados". El número p1·p2 ·p3 ... pn+ 1, o bien es primo o contiene factores primos que han de ser distintos de los n hallados previamente. Puesto que estos factores primos pueden hallarse por ensayos directos, estamos seguros de que, en todo caso, hay al menos un nuevo factor primo pn+1. Procediendo de este modo se ve que la sucesión de los números primos construibles siempre puede ser ampliada y no tiene fin, sin necesidad de considerar situaciones imposibles.
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(C)
José María Sorando Muzás |
