Matemáticas en tu mundo

Resolución

de problemas

Inducción e inducción matemática

Las dos expresiones, similares, corresponden a procesos distintos, aunque ambos pueden aparecer en la resolución de un mismo problema.

La INDUCCIÓN es un modo de razonar que conduce al descubrimiento de leyes generales a partir de la observación de ejemplos particulares y de sus combinaciones. Se emplea en todas las ciencias.

La INDUCCIÓN MATEMÁTICA no se emplea más que en Matemáticas a fin de demostrar un cierto tipo de teoremas:

- La afirmación a demostrar debe darse bajo una forma precisa.

- Debe depender de un número natural n.

- Debe conocerse que el postulado es cierto para n = 1.

- Debe ser lo suficientemente explícito como para permitirnos verificar que permanece cierto cuando pasamos de un número natural n al siguiente, n+1.

- Una vez verificado este último punto, sabemos que el postulado es cierto para n=1, y también para su siguiente n=2, ídem para n=3 y así sucesivamente (efecto dominó), quedando demostrada la afirmación de un modo general.

Este método se suele aplicar para intentar una demostración general de propiedades ya comprobadas en numerosos casos.

           Ejemplo: Expresar la suma de las potencias cúbicas de los n primeros números naturales.

Particularizando, hemos inducido una ley general que es ahora nuestra conjetura a demostrar. La demostraremos por inducción matemática:

Para n = 1,    1³  =1²= 1

Supongamos que la ley es cierta para un valor cualquiera de n. Entonces, ¿lo será para el valor siguiente, n+1?

Es decir, suponemos para n: 1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)² = [ n · (n+1) / 2] ²

Y queremos demostrar para n+1: 1³ + 2³ + ... + n³ + (n + 1)³ = [(n + 1) · (n + 2) / 2]² 

Basta restar ambas:

[(n + 1) · (n + 2) / 2]² - [n · (n + 1) / 2]² = [(n + 1)/ 2]² · [(n + 2)² - n²] =

= (n + 1)² · (4n + 4) / 4 = (n + 1)³

Hemos comprobado que:  (n + 1)³ = [(n + 1) · (n + 2) / 2]² - [n · (n + 1) / 2]²

Entonces, sumándole la igualdad conocida (para n), se obtiene la que pretendíamos demostrar (para n+1).

En tal caso, la ley es cierta para todos los valores de n. 

La inducción matemática no se aplica sólo para resultados de Aritmética natural o de Teoría de Números. También, por ejemplo, en Geometría y Topología.

Ejemplo: Problema de los dos colores.- Si en una cuartilla se traza un número finito de rectas, las regiones que resultan se pueden colorear con dos colores, de modo que cada dos regiones que tienen un segmento de frontera común se diferencien en el color.

Cuando sólo hay una recta en la cuartilla, es claro que se puede colorear el mapa resultante como se pide.

Supongamos que también se puede cuando hay n rectas. Queremos ver que, bajo esa hipótesis, también se puede cuando hay n+1 rectas.

Quitamos una cualquiera. Hay un mapa con n rectas. Según la hipótesis inductiva se puede colorear según las normas dadas. Lo coloreamos.

Ahora reponemos la recta que habíamos quitado. Esta divide la cuartilla en dos partes. A todos los trozos de las regiones que quedan en una de las dos partes les cambiamos el color. Los trozos de la otra parte conservan el color que tenían.

El mapa inicial de n+1 rectas queda así coloreado de acuerdo con las normas dadas:

- Si un trozo de esa recta que quitamos y pusimos es frontera de dos regiones, éstas tienen distinto color.

- Cualquier segmento de frontera que no sea de esa recta delimita también regiones con distinto color.

Esto concluye la demostración por inducción.