Matemáticas en tu mundo

Resolución

de problemas

Uso de un lenguaje adecuado

“La formulación de un problema, es más importante que su solución”

 Albert Einstein (1879 – 1955) 

FIGURAS, ESQUEMAS Y DIAGRAMAS.

Algunos problemas se hacen transparentes cuando se encuentra una representación adecuada de los elementos que en él intervienen.

Si es un problema geométrico, al trazar la figura estamos suponiendo que existe un objeto que satisface las condiciones impuestas, sobre el que podremos investigar. Esto es lícito, mientras no se confunda la posibilidad con certidumbre. Es un método que se remonta a los geómetras griegos.

La figura no debe sugerir ninguna particularidad gratuita (por ejemplo: en problemas sobre polígonos, no trabajar con polígonos regulares).

Ejemplo: El triángulo cuyos ángulos miden 45º, 60º y 75º es el que, en el sentido preciso del término, está "más alejado" de la forma del triángulo isósceles o rectángulo. Este triángulo o uno parecido es el que conviene trazar siempre que se quiera considerar un triángulo "cualquiera" (Polya). En efecto, si se consideran otros ángulos, habrá dos cuya diferencia será menor que 15º.

Una figura puede ayudar considerablemente en todo tipo de problemas, incluso en los que nada tienen de geométrico.

Ejemplo: Una adaptación del famoso Problema de la apuesta interrumpida. Data del siglo IX y fue resuelto por Fermat y Pascal en 1654:

Los jugadores A y B apuestan a cara o cruz, tirando una moneda. El jugador que primero llega a 10 puntos gana la apuesta. El juego se interrumpe en un momento en que A tiene 8 puntos y B tiene 7 puntos. ¿Cómo deben repartir la cantidad apostada para ser justos?. (en el problema original, la apuesta es a 5 puntos y se interrumpe el juego con un marcador de 4 a 3).        

(la anterior resolución gráfica pertenece a la obra Estandares curriculares y de evaluación para la educación matemática. National Council of Teachers of Mathematics. Edición española: Sociedad Andaluza de Educación Matemática "Thales". Utrera (Sevilla) 1991)

LA NOTACIÓN

Para valorar la importancia de una buena notación basta considerar las ventajas del uso de las cifras árabes en el sistema decimal para los cálculos aritméticos, sobre los cálculos realizados en base a construcciones geométricas (Grecia) o con cifras romanas.    

Gran parte del éxito del Cálculo Infinitesimal se debe a la notación simbólica ideada por Leibnitz expresando los conceptos de forma diferente antes y después del proceso de "paso al límite" (símbolos del incremento y de la diferencial, del cociente incremental y de la derivada, del sumatorio y de la integral), pero facilitando un cálculo formal en los pasos al límite que conserva la intuición de las operaciones aritméticas.

Como observa Polya, el orden y relación de los signos deben sugerir el orden y relación de los objetos.

Ej: La notación   ∆ ABC ~  ∆ EFG  indica que dos triángulos son semejantes, especificando que los vértices se corresponden en el orden en que se han escrito.

Ello nos permite extraer consecuencias sin mirar la figura:  AB / BC = EF / FG