Matemáticas en tu mundo

Resolución

de problemas

 * OBJETIVOS

Hay que establecer claramente si se pretende aprender a resolver problemas o aprender resolviendo problemas,  o bien en qué grado se pretende alcanzar cada uno de estos dos objetivos. En los documentos oficiales se superponen y confunden ambas propuestas. La resolución de problemas aparece a la vez como contenido y como método.

Las propuestas que siguen se centran principalmente en la enseñanza de la resolución de problemas, aunque no hay que entender que la finalidad sea resolver el problema, sino aprender de la situación. La tarea no finaliza cuando se ha obtenido la solución, sino cuando ya no se puede aprender nada nuevo.

La otra vía posible, considerarla como "eje organizador" de la enseñanza y aprendizaje de los contenidos del currículo resulta más compleja, si se entiende como una propuesta global. Lleva a formular el currículo como un "programa de actividades" que permiten inducir los conceptos. Favorece el conocimiento del método científico, de la ciencia como proceso. Pero precisa una permanente tutela, al constatarse el fracaso del "aprendizaje por descubrimiento" como medio de adquisición de información.

 * LA SELECCIÓN DE PROBLEMAS

Cuando se pretende una primera aproximación al proceso de resolución de problemas, familiarizarse con las actitudes, estrategias y procedimientos adecuados de pensamiento, es importante elegir adecuadamente los problemas de modo que los conocimientos que presuponen estén, realmente, al alcance de aquellos a quienes se proponen. Problemas muy sencillos que permitan la participación de todos, e incluso de los menos dotados, a fin de que sus pequeños logros les proporcionen estímulos y ánimo para tareas más importantes.

Una segunda fase, consistirá en la búsqueda y actividad más sistemática alrededor de problemas adecuados para poner de manifiesto las estrategias y técnicas específicas de trabajo de resolución de problemas. Estos problemas harán referencia, preferentemente, a los contenidos que se imparten en las asignaturas de Matemáticas. En el Taller de Matemáticas tendrán mayor cabida las situaciones más abiertas, no directamente relacionadas con contenidos escolares.

Es aconsejable la aceptación por el profesor de problemas nuevos para él propicia la enseñanza en circunstancias reales de la aplicación de los procesos de resolución de los problemas. Para enseñar a resolver problemas a los alumnos, éstos deberán ver cómo su profesor resuelve problemas, no situaciones que para ellos son problemas pero para el profesor sólo son ejercicios. Ello supone y confiere una autoridad moral por encima del conocimiento de la solución y a salvo de los posibles errores que cometa ante los alumnos. Educa además en el pensamiento productivo, no sólo en el pensamiento reproductivo de respuestas aprendidas.

 * PROBLEMAS FAMOSOS

Para motivarles, podemos ofrecer a los alumnos problemas célebres, haciendo hincapié en su importancia histórica (Ejemplos: Puentes de Königsberg, Apuestas de De Meré, etc). La visión histórica recreadora ayuda a comprender cómo trabaja la ciencia y cuáles son sus limitaciones ante los que hoy son problemas abordables pero en su día fueron fronteras del pensamiento.

También les motiva presentar APLICACIONES de las Matemáticas a todos los niveles. El conocimiento de aplicaciones actúa como una cierta evidencia experimental que refuerza el interés.

 * ¿CÓMO PRESENTAR LOS PROBLEMAS?

Un problema no debe ser visto como una situación que requiere una respuesta única -conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella- sino como un proceso en el que el alumno se cuestione, experimente, estime, explore, conjeture y sugiera explicaciones. La diferencia entre enfrentar al alumno con un problema dando a entender que ya se conoce la solución u ofrecérselo como situación abierta se traduce en un contexto de competición y sanción o de curiosidad e interés. Una actividad creativa no se puede construir exclusivamente sobre la rutina, recetas y fórmulas. Una opción posible es el "desarrollo de investigaciones".

 * ENTRENAMIENTO

A resolver problemas no se aprende si no es resolviendo problemas. No vale teorizar sobre estrategias heurísticas.

 * REFLEXION POSTERIOR

Además de resolver problemas hay que reflexionar sobre el proceso de resolución. De varios modos se puede estimular esta reflexión operativa:

 - ejercitando en las técnicas de escritura de protocolos o rótulos que ayuden al autoconocimiento.

 - ofreciendo guías de acción (modelos de resolución).

 - identificando las estrategias más usuales.

 * PROGRAMACION

Si es posible, es altamente instructivo iniciar a los alumnos en la resolución de problemas con ordenador a través de la programación. En esa situación el alumno actúa como maestro del ordenador, al darle de forma estructurada todas y cada una de las instrucciones necesarias para resolver el problema. No se trata de "pensar como máquinas", sino de que "las máquinas piensen como nosotros". Para hacerlo, el alumno debe pensar antes cómo actúa él mismo cuando resuelve el problema, reflexionar sobre su propios procesos de pensamiento, convirtiéndose en epistemólogo.

La experiencia docente nos enseña que esta reflexión para la enseñanza proporciona el conocimiento más profundo sobre los procesos mentales, así como sobre los propios conceptos que manejan.

 * AYUDAR AL ALUMNO

El estudiante debe adquirir en su trabajo personal la más amplia experiencia posible. Pero si se le deja sólo frente a su problema, sin ayuda alguna o casi sin ninguna, puede que no progrese. Por otra parte, si el profesor le ayuda demasiado, nada se le deja al alumno. El maestro debe ayudarle, pero no mucho ni demasiado poco, de suerte que le deje asumir una parte razonable del trabajo.

El profesor debe ayudar al alumno discretamente, sin imponérsele, sin anticipar las soluciones, dejando que el alumno llegue a ellas. Descartes concluye su tratado "La Geometría" con estas palabras:

"Espero que nuestros nietos me estarán agradecidos, no solamente por las cosas que he explicado aquí, sino también por las que he omitido intencionadamente a fin de dejarles el placer de descubrirlas".

Conviene que el profesor se ponga en el lugar del alumno, trate de comprender lo que le pasa por la mente, y así plantear preguntas  o indicar caminos que se le pudieran ocurrir al propio alumno. También, que valore cada logro alcanzado, aunque no sea la solución final correcta.

Es importante que el alumno sienta que el profesor está allí para ayudarle, antes que para sancionarle, fomentando su confianza y equilibrio. Un estudio con encuestas a 500 alumnos en 18 centros (J. Mª Sorando: "Vivir/Sufrir las Matemáticas") me revelaron la gran carga afectiva que los alumnos vuelcan en sus intentos, logros, fracasos y bloqueos.

 * ESCOLLOS

Aparecen dos dificultades principales para  llevar a cabo una enseñanza del tipo descrito. Puede ser fácil y agradable con 10 alumnos. Pero no es nada trivial hacerlo con 30, sin merma del tratamiento de la diversidad de individuos en el aula. Asimismo, dicha enseñanza parece oponerse al programa y los exámenes convencionales, siendo difícilmente evaluable.

 * LA ORGANIZACIÓN DEL AULA

La propuesta de Miguel de Guzmán consiste en la constitución de grupos de 6 alumnos, con un secretario y un moderador en cada grupo, papeles que irán rotando entre los miembros de cada grupo a lo largo de las sesiones. Los grupos debieran estar formados mezclando alumnos con diferentes grados de conocimiento y personalidades complementarias.

La misión del Secretario-observador consiste en observar e ir anotando los puntos más importantes del camino que sigue el grupo en busca de la solución del problema. Sus observaciones y sus notas constituirán el protocolo del proceso y serán sustanciales para la reflexión conjunta y para la comunicación al resto de la clase. Normalmente permanece en silencio, salvo para pedir aclaraciones sobre el origen y sentido de las nuevas ideas.

Lo verdaderamente importante es que se cree una atmósfera favorable en el grupo, libre de inhibiciones, libre de competitividad, pero de superación, en que cada uno esté deseosos de aportar sin imponer, admitiendo que otros desarrollen las propias ideas y colaborando para mejorar las ideas de otros. La tarea esencial del Moderador es precisamente mantener permanentemente ese clima, estimulando las aportaciones, ordenando su exposición, distribuyendo el trabajo cuando sea necesario.

* ESQUEMA DE TRABAJO

El esquema a seguir por estos pequeños grupos sigue las fases habituales:

a) El grupo se familiariza con el problema.

b) Búsqueda de estrategias posibles. Se recomienda la técnica del brainstorming (tormenta de ideas), con las siguientes reglas:

-  cada uno propone las ideas que se le ocurran, con entera libertad, sin orden.

-  no se enjuician las ideas que se van proponiendo.

-  interesa la cantidad de ideas más que su desarrollo.

-  las ideas son del grupo, no propiedad individual.

c) El grupo selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen más adecuadas.

d) El equipo reflexiona sobre la solución encontrada, sobre el proceso de resolución y sobre la dinámica interna del grupo.

e) Y se añade la puesta en común de todos los grupos. los secretarios dan cuenta de los procesos y logros de diferentes grupos sobre un mismo problema. El profesor comenta y destaca las coincidencias y las diferencias, estimulando la obtención de conclusiones y es portavoz de otros muchos investigadores, de lo que la "comunidad científica" ha ido aceptando en un largo proceso. Se trata de que los alumnos construyan su propia ciencia "subidos a hombros de gigantes" (Newton dixit) y no de un modo autista".

Varios autores (Guzmán entre ellos) consideran que el trabajo en grupo constituye el marco ideal para el aprendizaje de la resolución de problemas. Los estudiantes participan juntos en un diálogo que refleja el tipo de diálogo interno que los buenos resolutores de problemas desarrollan consigo mismos. Además constatan la insuficiencia de las ideas y resultados obtenidos por un único colectivo y la necesidad de cotejar los con otros, característica fundamental del trabajo científico.           

Para los alumnos mejor dotados, los ejercicios en grupo son especialmente productivos porque el tener que comunicarse con los demás les obliga a sacar a la luz y verbalizar intuiciones, imágenes y procesos que en un trabajo individual hubieran permanecido ocultos. Igualmente, o quizás incluso en mayor grado, también beneficia a los alumnos más flojos y/o inseguros, a quienes pone de relieve cuál es el comportamiento a adoptar ante un problema, en una situación entre iguales, sin juicio ni sanción. Para todos, el trabajo en grupo eleva el rigor lingüístico: si alguien expresa una idea de modo basto o incompleto, dicha idea se completa, se explora o se precisa. La claridad del lenguaje se convierte en un elemento esencial para conseguir la correcta transmisión de las ideas entre los miembros del grupo.

* LA EVALUACIÓN      

El avance de los estudiantes debe evaluarse sistemática, deliberada y continuamente para que se pueda mejorar de forma efectiva la confianza de los estudiantes y su capacidad para resolver problemas en contextos diversos. Para que desarrollen esta capacidad es muy importante que reciban información y respuesta del resultado de esta evaluación, tanto de los procedimientos usados como de los resultados obtenidos.

Los aspectos a evaluar son:

 - evaluación de las capacidades de los alumnos en el uso de los recursos heurísticos:

 - evaluación de la capacidad de comprensión de enunciados, formulación de problemas, uso de la información dada y elaboración de conjeturas.

- evaluación sobre el uso de estrategias y técnicas de resolución de problemas.

- evaluación de la capacidad para comprobar, interpretar y explotar los resultados.

- evaluación de la capacidad para planificar, desarrollar y controlar procesos individualmente o en grupo.

- evaluación de las posibilidades instructivas que encierra cada problema y del grado de adecuación de la propuesta educativa realizada.

En todos ellos, es muy revelador el análisis de los errores cometidos en particular, y de los procesos en general, y no sólo los resultados finales.

Los métodos a utilizar son:

- la observación del alumno al resolver problemas por separado, en grupos pequeños o en discusiones del grupo de clase.

- escuchar a los alumnos discutir sus procesos de resolución de problemas

- analizar exámenes, tareas hechas en casa, cuadernos de clase y trabajos escritos.

- Diario de clase: del profesor, del alumno o de los grupos, si se ha adoptado dicha propuesta de trabajo.

Los sistemas de calificación:       

- Se puede calificar mediante escalas cualitativas o progresivas que incluyan categorías como: características personales, habilidades matemáticas, heurística, estructuras de pensamiento y control sobre el proceso.

- Se pueden dar puntos a elementos primarios que entran en la resolución del problema: operaciones, dibujos, tablas, comprobaciones, etc. 

Terminaré con una cita de Emmanuel Kant:

"Persona es el ser humano que ante una situación cualquiera de la vida examina lo que puede hacer, analiza lo que debe hacer ... y después lo hace".

Educar en la resolución de problemas es pues, en el sentido kantiano, educar para ser personas; personas que dejan de ver las situaciones como inevitables para considerarlas como problemas pendientes de solución.