Matemáticas en tu mundo

Resolución

de problemas

Semejanza

A medida que se va adquiriendo cierta experiencia en la resolución de problemas, es frecuente, ante una nueva situación, encontrar semejanzas con otras resueltas con anterioridad. Esto proporciona confianza al asegurarnos instrumentos de ataque seguramente válidos.

Ejemplo: El Juego del 15. Dos jugadores juegan sobre una tabla con nueve casillas marcadas del 1 al 9. Por turnos, cada uno coloca una ficha sobre una casilla libre. Gana el primero que sume 15 con tres fichas distintas.

Al experimentar con este juego nos familiarizamos con las combinaciones de números que permiten ganar partida. Si hemos trabajado con cuadrados mágicos, reconoceremos en esas combinaciones las filas, columnas y diagonales del cuadrado mágico más famoso, el de suma 15. La representación del desarrollo del juego con las fichas sobre dicho cuadrado mágico es semejante al juego del "tres en raya". Entonces, la estrategia está clara: convertir el juego inicial en un "tres en raya", sin que el adversario lo advierta...  

Analogía

La semejanza se nos manifiesta como evocación de un problema desde otro. Un caso más preciso de la semejanza es la analogía: Objetos semejantes concuerdan unos con otros en algunos aspectos mientras que objetos análogos concuerdan en ciertas relaciones entre sus respectivos elementos.

Ejemplo: Un paralelogramo rectangular es análogo a un paralelepípedo rectangular, pues las relaciones que existen entre los lados del primero son semejantes a las que existen entre las caras del segundo:

Cada lado del paralelogramo es paralelo a uno sólo de los otros lados y perpendicular a los lados restantes.

Cada cara del paralelepípedo es paralela a una sola de las otras caras y perpendicular a las caras restantes.

Consideremos como "elemento límite" el lado del paralelogramo y la cara del paralelepípedo. Podemos entonces reducir las dos consideraciones anteriores a una sola que se aplique a ambas figuras:

Cada elemento límite es paralelo a uno sólo y perpendicular a los restantes elementos límites.

Dado un problema, a veces se puede UTILIZAR EL MÉTODO Y/O EL RESULTADO DE UN PROBLEMA ANÁLOGO MÁS SENCILLO

Ejemplo: "Hallar la diagonal de un paralelepípedo rectangular", se soluciona hallando por dos veces (resultado) "la diagonal del paralelogramo rectangular".

Ejemplo: Si el problema consiste en "determinar la esfera circunscrita alrededor de un tetraedro dado", podemos valernos del método seguido en un problema análogo, que consiste en "determinar el círculo circunscrito alrededor de un triángulo dado". Para este último problema nos valimos de las mediatrices de los lados del triángulo. Ello nos lleva ahora a la elección, como elementos auxiliares correspondientes, de los planos perpendiculares en los puntos medios de las aristas del tetraedro.

Muchos problemas de geometría espacial se resuelven por analogía con otros de geometría plana.

En Geometría Proyectiva, todos los teoremas se presentan a pares, análogos unos a otros e idénticos en estructura. Esta relación se llama dualidad. El punto y la recta son elementos duales. Trazar una recta que pase por un punto, o señalar un punto sobre una recta, son operaciones duales. El dual de todo teorema verdadero en Geometría Proyectiva es asimismo verdadero (Principio de Dualidad).

Ejemplo:          

En muchas ocasiones, sabiendo que dos objetos análogos se parecen en muchos aspectos (Ejemplo: triángulo y tetraedro), se hace la conjetura de que se parecen en un aspecto más. Esta hipótesis es una INFERENCIA POR ANALOGÍA.

Ejemplo: Sabiendo que "el centro de gravedad de un triángulo homogéneo coincide con el de sus tres vértices•" (es decir, de los tres puntos materiales de igual masa colocados en los vértices del triángulo), podemos conjeturar que "el centro de gravedad del tetraedro homogéneo coincide con el de sus cuatro vértices".

Parece absurdo confundir la plausibilidad con la certidumbre en tales conjeturas, pero no prestarles atención sería igualmente absurdo o incluso más.

Hay un caso importante en el cual la analogía alcanza la precisión de la idea matemática:

I) Dos sistemas de elementos matemáticos S y S´ tienen entre sí una dependencia tal que ciertas relaciones entre los elementos de S están regidas por las mismas leyes que rigen las relaciones correspondientes entre los elementos de S´. Entonces hay una ANALOGÍA entre S y S´.

II) Los elementos de los dos sistemas S y S´ se corresponden biunívocamente bajo ciertas relaciones. Es decir, que si existe una relación entre los elementos de uno de los sistemas, la misma relación debe existir entre los elementos correspondientes del otro sistema. Este tipo de relación entre dos sistemas es un género muy particular de analogía; recibe el nombre de ISOMORFISMO.

III) Los elementos de dos sistemas S y S´ se corresponden entre sí de tal modo que un elemento de S corresponde a varios elementos de S´ bajo ciertas relaciones. Este género de relación (importante en la Teoría de Grupos, f(a*b) = f(a) * f(b)) recibe el nombre de HOMOMORFISMO.