Repasando funciones por culpa del COVID-19

Escribo estas líneas en el 30-03-2020, 16º día de confinamiento tras la declaración por el Gobierno de España del Estado de Alarma ante la extensión del coronavirus COVID-19. Estamos recluidos en casa como estrategia colectiva para evitar los contagios y conseguir dominar a esta epidemia que ha trastornado las vidas de todos, llevándose las de algunos, demasiados. Cada mediodía escuchamos los datos de la jornada anterior (infectados, fallecidos y altas médicas) con expectación. Ante los números dramáticos de muertes diarias, se intenta animar a la población con un mensaje: "Nos acercamos al pico de la curva". En todos los medios de comunicación se entrevista a matemáticos que hablan de los modelos de propagación de epidemias y hasta habituales tertulianos del corazón o de la política en estos días hablan de la curva, de su famoso "pico", de los incrementos o del crecimiento exponencial con la imprecisión de quien se atreve a opinar de todo. Veamos, desde los conocimientos matemáticos que debiera alcanzar un bachiller, cuáles son los conceptos implicados.

La curva.- En realidad son cuatro las  curvas posibles, correspondientes a las variables que se enumeran más adelante. Para cada una de ellas, su tabla de datos es discreta, pues los valores se conocen de día en día, y lo más correcto es su representación mediante puntos separados o con barras de histograma, pero es más cómodo unir esos datos mediante una curva.

Fallecidos.  Hasta el día 25 de marzo parecía el crecimiento de una función exponencial.

Pero el objetivo es que se ajuste a una curva logística; que se aproxime a una asíntota horizontal, no pasando de ese valor... cuanto antes mejor. La siguiente imagen, cuya fuente es Luis Rández en Facebook, nos indica que podemos haber superado el punto de inflexión (cruce con la línea verde) donde cambia la curvatura y se pasa del modelo exponencial al logístico. Que así sea.

Infectados totales desde el comienzo de la epidemia. Es una curva siempre creciente y el objetivo a conseguir también en este caso es que encuentre una asíntota horizontal; es decir, que se estabilice en un valor, dejando de crecer.

Altas médicas. Vemos un crecimiento que parece ahora exponencial. Es la mejor noticia.

Infectados activos. Su número es el de los infectados totales menos los fallecidos y menos las altas médicas. El objetivo es que llegue a cero. Es de esta curva de la que se suele hablar como "la curva" a doblegar. A día de hoy está así:

En la evolución de una epidemia, con mayores o menores amplitud y altura, la curva es similar a la célebre "campana de Gauss" y finalmente queda así:

El "pico de la curva".- Es como denominan al valor máximo de la curva anterior. A partir de él, el número de infectados activos empezará a decrecer.

El decrecimiento de los incrementos.- En la rueda de prensa del Comité Técnico de seguimiento de la epidemia  se ha dicho:

"Desde el día en que se iniciaron las medidas de distanciamiento social en España, del 15 al 25 de marzo, el incremento de casos medio era de un 20% y desde ese día es de un 12%. Si el lunes pasado era de un 22%, ayer fue del 9%".

¿Quiere esto decir que hay menos infectados? En absoluto, pues el 9% de un número grande puede ser mayor que el 22% de un número pequeño. Entonces, ¿por qué es una buena noticia?

El incremento medio, o tasa de variación media, de una función en un intervalo infinitesimal es la derivada en un punto y esta coincide con la pendiente de la curva en ese punto (la de su recta tangente). Cuando esta es positiva la función es creciente; y cuando es negativa, decreciente. En el máximo, la pendiente y la derivada son cero.

En nuestro caso, venimos de una terrible pendiente del 22% y empezaremos a mejorar en términos absolutos cuando sea del 0%. Ya estamos en el 9%, luego nos vamos acercando. El citado Comité podría decir: "Tenemos una buena noticia, la función derivada decrece". Probablemente no sería comprendido el mensaje.

Y si la función derivada decrece, entonces su derivada es negativa. Así que: "Alegrémonos, la segunda derivada ya es negativa"; o lo que es igual, la concavidad de la curva, que antes miraba hacia arriba ya mira hacia abajo. Ese necesario cambio de concavidad parece haberse producido el 25 de marzo (punto rojo de la gráfica), que sería el punto de inflexión.

¿Un punto de inflexión? - Sin embargo los periodistas suelen usar este término matemático para denominar a cualquier cambio (por ejemplo: "la lesión del delantero supuso un punto de inflexión en la capacidad goleadora del equipo"). Afortunadamente solo he visto en la siguiente noticia, que al máximo (o "pico") deseado se le llame punto de inflexión. Quede claro que el error no es del investigador entrevistado sino del periodista:

Un punto de inflexión es aquel donde cambia la curvatura; en nuestro caso, si desde la situación actual (gráfico anterior) llegásemos  a un nuevo punto de inflexión, la curvatura pasaría de mirar hacia abajo a hacerlo nuevamente hacia arriba. Eso se traduciría en un cambio del signo de la derivada segunda, pasando de negativa a positiva. Y significaría que la derivada primera, la pendiente de la curva, volvía a crecer. Deseo de todo corazón que tal cosa no ocurra.

Hasta aquí, una mirada matemática sobre el asunto más importante que nos preocupa. Pero no penséis que las matemáticas tan solo describen desgracias... no hay tema que no se pueda enfocar con ellas, también otros más festivos. ¿Te animas?

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