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¿Dónde están las matrices numéricas?

Los alumnos de Bachillerato estudian las matrices numéricas en el tema de Álgebra Lineal. Son conjuntos de números organizados en filas y columnas con los que operan y calculan el rango y la matriz inversa (cuando es posible). Esas destrezas luego se aplican a la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Estos, a su vez, son una forma eficaz de"matematizar" y resolver problemas en todas las áreas de actividad. Así que las matrices son una herramienta para esa labor, lo cual ya las justifica.

Pero, ¿podemos apreciar su presencia en nuestro entorno, por si mismas, sin llegar a tales sistemas de ecuaciones? Sí, están muy presentes y conviene detenerse un momento a constatarlo para que no las veamos solo como antipáticos "almacenes de números" sin significado. Las matrices se utilizan como forma abreviada de organizar gran cantidad de información cuando esta corresponde al cruce de dos criterios (tablas de doble entrada).

Por ejemplo, supongamos que una empresa distribuye sus productos mediante 20 camiones que viajan a diario a 5 almacenes (A, B, C, D y E). De acuerdo con las necesidades logísticas, los viajes se reparten de forma desigual, según los días de la semana. Esa información se puede recoger en la siguiente matriz

La utilidad de las matrices se aprecia mejor cuando la información es más abundante y compleja. Por ejemplo, la tabla de clasificación de la Liga de Fútbol de Primera División, que tan bien conocen los aficionados. En este caso, cada fila corresponde a los datos de cada equipo (ordenados estos según los puntos totales) y cada columna corresponde a una variable (partidos jugados, ganados, empatados, perdidos, etc). Pulsa sobre la siguiente imagen para verla ampliada.

Piensa ahora en otros ejemplos de matrices numéricas en la vida cotidiana. Seguro que conoces unas cuantas.

Volvamos a la logística, donde el uso de matrices es fundamental. Cuando compramos un producto en un establecimiento perteneciente a una gran cadena de distribución, en la caja se pasa el producto por el lector del código de barras, lo cual genera el ticket de pago. Pero ocurre algo más que no vemos: se actualiza el inventario de esa cadena. Y eso, gracias a una enorme matriz numérica.

imagen:Pixabay

Supongamos que la cadena tiene 43 tiendas y que comercializa 15.248 productos. Imaginad una gran matriz de 43 filas y 15.248 columnas. En cada fila están las existencias que hay en una tienda para cada uno de los 15.248 productos. Al leerse el código de barras en la caja, se resta una unidad en la celda correspondiente. Al llegar esas existencias a un umbral mínimo, se genera el correspondiente pedido de reposición al almacén.

Cuando hay mucha información conviene, si es posible, simplificar su matriz. Con los mapas de carreteras suele ofrecerse la matriz de distancias entre capitales de provincia del país. Para abreviar, veamos el caso de las capitales andaluzas:

Observa: es una matriz con ceros en la diagonal pues la distancia de cada capital a ella misma es cero; y también es simétrica, pues la distancia de una capital a otra es la misma que de esta a aquella. De modo que, sin pérdida de información, se puede sustituir esa matriz por esta otra

Esta nueva matriz es del tipo triangular. Contiene la misma información que la de antes y sin embargo es más sencilla para, por ejemplo, su procesamiento automático; ocupa menos memoria. Conseguir simplificaciones de este tipo es importante cuando hablamos de matrices con miles de filas y columnas como son, por ejemplo, las imágenes digitales.

Mi cámara realiza fotos con unas dimensiones de 5184 x 3188 pixeles. Es decir, cada foto es un rectágulo formado por 16.526.592 pixeles, más de 16 millones de puntitos de color. Cada color tiene un código numérico (en realidad son 3, considerando que se puede obtener como mezcla del rojo, del verde y del azul -código RGB- y cada una de esas tres componentes tiene una intensidad, un número).

Entonces, una de esas fotos es una matriz de más de 16 millones de ternas de números. Así considerada, la foto está en formato BMP y su peso en memoria es de unos 50 Mb. Con ese formato, las imágenes son muy pesadas para su envío por correo y enseguida llenan la capacidad de nuestros pendrives. Si somos aficionados a la fotografía y guardamos muchas fotos como esa, saturaríamos nuestro disco duro. Por eso vendría bien reducir el peso de esa imagen; lo que se llama pasarla a un formato comprimido. El más usual es el formato JPG. En él, la imagen anterior pasa a tener un peso de unos 5 Mb.... y sin embargo sigue siendo una matriz del mismo tamaño. ¿Cómo?

Para hacernos una idea, usaremos un ejemplo tomado del artículo "El sistema de compresión JPEG" publicado en La Gaceta de la RSME por Julio Benítez.

Sea la siguiente porción de una imagen de 64 pixeles (8x8) y la matriz de su codificación BMP para uno de los componentes RGB (el verde en este caso):

Se aplican a la anterior matriz unas operaciones llamadas "transformada discreta coseno bidireccional" y queda de esta manera:

Como ves, ahora la matriz tiene una gran cantidad de ceros, luego pesa mucho menos en memoria. Es el formato JPG. Cuando un dispositivo electrónico lea esa matriz tendrá que descomprimirla, mediante otro proceso matemático, lo cual la convierte en esta otra:

No es igual a la matriz original. La imagen que le corresponde, ¿cambiará mucho?. Juzga tú mismo:

La imagen JPG cambia ligeramente con respecto a la BMP, pero muy poco. Y sin embargo ocupa muchísima menos memoria. Es la "magia" de la matrices en la fotografía.

Hasta aquí, todas las matrices que hemos visto son bidimensionales, pero también las hay tridimensionales. Lo cual nos lleva, de nuevo, a la logística. Las grandes compañías tiene enormes naves donde se almacenan los productos en largos pasillos sobre estanterías de varias alturas. En muchos casos, la colocación de los productos y su extracción se realiza mediante sistemas mecanizados o robots. Para ello, la ubicación de cada producto viene dada por 3 coordenadas: nº de pasillo, profundidad dentro de ese pasillo y altura en la estantería. Con esa información, una bandeja se mueve sobre unas guías y coloca o extrae el producto sin intervención humana física. Así, todo el almacén es considerado como una matriz tridimensional en la cual cada celda está ocupada por un tipo de producto.

  imagen:Pixabay

Ya ves si están presentes las matrices en nuestro mundo...