“TODO TRIÁNGULO ES ISÓSCELES”

Dado un triángulo cualquiera  ∆ABC  (figura), se quiere probar que AB = AC.

Construcción:

La bisectriz interna del ángulo A corta en O a la mediatriz de BC.

Considérense OD, OQ y OR, perpendiculares desde O a BC, CA y AB respectivamente.

Demostración:

(1) Como  DO = DO;  DB = DC  y  <ODB = <ODC

tenemos que  ∆ODB ≡ ∆ODC  y por tanto  OB = OC.

(2) También  AO = AO;  <RAO = <QAO  y  <ARO = <AQO,

luego  ∆ARO ≡ ∆AQO.

Por tanto,  AR = AQ;  OR = OQ

(3) <ORB = <OQC = ángulo recto

OB = OC (1)  y  OR = OQ (2)

De donde ∆ORB ≡ ∆OQC  y consecuentemente  RB = QC.

(4) Finalmente   AB = AR + RB = AQ + QC = AC    como queríamos demostrar.

(Tomado de E.A. Maxwell: Fallacies in Mathematics. Cambridge University Press)

NOTACIONES:

<ODB  ángulo con vértice en D y extremos de los lados en O y B

∆ODB  triángulo ODB

∆ODB ≡ ∆ODC  triángulos congruentes, es decir, existe un movimiento euclídeo que los superpone.

Solución