Matemáticas en tu mundo

Resolución

de problemas

La heurística

"Heurístico" viene del verbo griego euriskô -de donde proviene también el famoso ¡eureka! que la leyenda atribuye a Arquímedes en la bañera-, que significa "encontrar". Es el arte de resolver problemas.

  Arquímedes: ¡eureka!

Polya la redescubre en 1945: "Heurística o ars inveniendi fue el nombre de una cierta rama del saber, delimitada con poca claridad, perteneciente a la lógica o a la filosofía o a la psicología, esbozada a menudo, rara vez presentada en detalle, y prácticamente olvidada hoy en día. La intención de la heurística es estudiar los métodos y las reglas del descubrimiento y la invención".

"El estilo heurístico está constituido por el dominio de formas de actuar que son independientes del contenido matemático concreto del problema" (Puig).

EL RAZONAMIENTO HEURÍSTICO O PLAUSIBLE

La evidencia inductiva del científico, así como la evidencia estadística y también los indicios percibidos por un descubridor, concuerdan en dos aspectos:

 - No ofrecen la certeza de una demostración rigurosa.

 - Sin embargo, son útiles en la adquisición de nuevos conocimientos.

 El tipo de razonamiento que subyace en estos casos es llamado por Polya razonamiento heurístico o plausible. Ofrece certidumbre y precede al uso del razonamiento lógico o deductivo, necesario para las demostraciones. Para Polya, es el andamiaje en que se basa la construcción de la demostración. Dicho de otra forma, primero hay que "ver" y luego "demostrar". A veces, ambos aspectos casi coinciden: por ejemplo, así ocurre en la demostración de la irracionalidad de raíz de 2 considerando la paridad del número de divisores..

 Polya enfrenta dos silogismos propios de ambos tipos de razonamiento:

           Demostrativo                                                  Heurístico

           (modus tollens de silogismo hipotético)

           A implica B                                                       A implica B

           B es falso                                                        B es cierto

     ------------------                                                ------------------

     Entonces, A es falso                                       Entonces, A es más factible                 

HACER CONJETURAS

El uso del razonamiento heurístico en la resolución de problemas conduce a formular conjeturas. Una conjetura es una afirmación que parece razonable, pero cuya veracidad no ha sido demostrada.

Ejemplo: La Conjetura de Goldbach, "Todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos".

Esta conjetura fue propuesta por Christian Goldbach (1790 - 1864) en el margen de una carta a Euler en 1742. Se ha recogido una gran cantidad de evidencias que apoyan la Conjetura. Se han comprobado varios millones de números pares, y todos se han podido descomponer en suma de dos números primos. Sin embargo, nadie ha probado todavía que todo número par tiene esa propiedad, así que podría no ser cierta. Los intentos de justificarla han dado lugar a gran cantidad de métodos y resultados auxiliares. Hoy día, una vez resuelto el Teorema de Fermat, es el resultado abierto más famoso de las Matemáticas.

La carta donde Goldbach propone a Euler la famosa Conjetura. Puede observarse la escritura cruzada, en el margen izquierdo.

El origen de la dificultad reside en el hecho de que los números primos se definen mediante la multiplicación, mientras que el problema se refiere a la adición. En términos generales, resulta difícil establecer conexiones entre las propiedades aditivas y multiplicativas de los enteros.

Ha habido resultados de aproximación que han acotado el problema. En 1931 el ruso Schnilremann probó que todo entero positivo puede ser expresado como suma de a lo sumo 300.000 números primos. Parece un resultado pintoresco, pero dio un primer paso en la dirección justa y dio una prueba directa constructiva. Después, Vinogradoff redujo el número de 300.000 a 4, pero hay una diferencia entre ambas demostraciones aún más significativa que la que va de 300.000 a 4. Vinogradoff ha probado que existe un número natural n tal que, para todos los naturales mayores que n, éstos pueden ser expresados como suma de, a lo sumo, 4 primos. Su demostración es por reducción al absurdo y no permite determinar n. Aquí aparece la oposición entre métodos constructivos e indirectos (oposición que comentamos a propósito de las estrategia de reducción al absurdo).

 La mayoría de las conjeturas que surgen al intentar resolver un problema son falsas y hay que modificarlas tan pronto como acuden a la mente de quien se enfrenta al problema, pero forman parte del núcleo mismo del razonamiento matemático. Se producen en un Proceso Cíclico:

1. Formular una conjetura

2. Verificarla.

3. Intentar refutarla.

4. Adquirir una idea sobre su validez.

5. Demostrarla, ó  1. Formular otra conjetura.

...

La anterior es una (versión simplificada del modelo enunciado por Lakatos para la heurística del descubrimiento matemático, en su obra Pruebas y refutaciones.

La veracidad de una conjetura debe ser justificada. Recordemos que no es lo mismo "ver" que "demostrar" y que nuestra percepción puede ser falsa.

Ejemplo: Coloca N puntos sobre una circunferencia y une cada par de puntos por una línea recta. ¿Cuál es el máximo número de regiones en que puede quedar divido el círculo por este método? (Por ejemplo, cuando hay 4 puntos, el máximo número de regiones posible es 8, en este caso también el mínimo).

Al comprobar con los cinco primeros casos, la gente normalmente se convence de que para N puntos se forman "2 elevado a N-1" regiones, y que, por tanto, con 6 puntos se deben formar 32 regiones. Pero sólo observaremos 31. Luego se suele comprobar el diagrama muchas veces buscando la región número 32 perdida, antes de aceptar que la ley tan sencilla lleva a una conjetura falsa.

Un problema como éste es muy valioso, ya que la sorpresa que produce se te queda grabada, manteniéndote vigilante contra un exceso de confianza.

La justificación o demostración de una conjetura consiste en descubrir una estructura subyacente, o una relación que ligue lo que sé con lo que quiero. No basta con comprobar muchos ejemplos; hay que encontrar las conexiones estructurales que explican por qué la conjetura es válida.

Ejemplo: El Teorema Fundamental del Álgebra, "una ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n raíces en el cuerpo de los números complejos".

Durante 250 años los matemáticos aceptaron su validez sin conocer la demostración perfecta; sólo era por lo tanto una conjetura. Se conocía para los grados inferiores, y también se había demostrado que "ninguna ecuación de grado n tiene más de n raíces diferentes". Pero no fue un teorema hasta que Gauss, en su tesis doctoral (1799), encontró la demostración.

Las conjeturas se producen como resultado del uso de diversas estrategias que más adelante veremos, fundamentalmente la particularización y la analogía.